Моделирование безарбитражных финансовых рынков опционов

Modeling arbitrage-free financial options markets

 

Авторы:

Бутов Александр Александрович

ФГБОУ ВО «УлГУ», г. Ульяновск, Россия

e-mail: alex-23-07@mail.ru

Butov Alexander Alexandrovich

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, ULSU, Ulyanovsk, Russia

e-mail: alex-23-07@mail.ru

Юрташкина Наталья Михайловна

ФГБОУ ВО «УлГУ», г. Ульяновск, Россия

e-mail: natalia.yurtashkina@mail.ru

Yurtashkina Natalia Mikhailovna

ULSU, Ulyanovsk, Russia

e-mail: natalia.yurtashkina@mail.ru  

 

Аннотация: Работа посвящена построению математических и алгоритмических моделей безарбитражных финансовых рынков опционов и их обобщениях, а также построению соответствующих имитационных компьютерных моделей. При этом рассматривались модели как рынков опционов европейского типа, так и американского типа. В работе рассматривается система в зависимости от различных параметров, позволяющая анализировать соответствующие рынки.

Abstract: The work is devoted to the construction of mathematical and algorithmic models of arbitrage-free financial options markets and their generalizations, as well as to the construction of corresponding simulation computer models. The models of both European-type and American-type options markets were considered. The paper considers a system depending on various parameters to analyze the corresponding markets.

Ключевые слова: модель Кокса-Росса-Рубинштейна, биномиальное дерево, опционы.

Keywords: model Cox-Ross-Rubinstein, binomial tree, options.

Тематическая рубрика: IT-технологии и цифровые процессы.

 

На сегодняшний день является актуальной задача быстрого и точного нахождения цены опциона в любой момент времени. Хотя оценить стоимость опциона в момент окончания срока его действия довольно просто, но оценка его стоимости в любой предшествующий момент представляет собой серьезную проблему. Самой первой и основной принято считать модель Кокса-Росса-Рубинштейна (CCR) ценообразования европейского колл опциона. Альтернативная биномиальная модель оценки стоимости опциона ограничивает движение цены двумя возможными значениями в периоде, заметно упрощая математику за счет некоторого удаления от действительности. Однако в результате ничего не теряется, поскольку биномиальная модель сходится к модели CCR при уменьшении длины периода к нулю. И что более важно, биномиальная модель приводит к эффективным численным алгоритмам оценки стоимости опциона.

Биномиальное распределение - первое из теоретически найденных распределений, связанное с именем швейцарского ученого Я. Бернулли. Биномиальное распределение является дискретным распределением случайной величины, принимающей значения k = 0, 1, 2,..., n. Оно образуется, когда в n случайных испытаниях вероятность осуществления некоторого события равна p, а вероятность его не появления q = (1 - p). Биномиальное распределение может рассматриваться как распределение суммы случайных величин, каждая из которых принимает одно из двух значений: 1 с вероятностью p или 0 с вероятностью q = (1 - p).

Данное распределение нашло свое использование в моделях оценки стоимости опционов на различных биржах в текущих торгах. Колебания цены актива, на который заключается контракт, имеют всего лишь два значения, из-за чего эти модели и называют биномиальными. Огромный вклад в развитие теории производных ценных бумаг и моделирования оценки премии опциона с помощью биномиального дерева внесли Кокс (Сох), Росс (Ross) и Рубинштейн (Rubinstein).

Опцион представляет собой право, но не обязательство купить или продать определенные активы по заранее оговоренной цене в течение определенного установленного периода времени. Обычно в качестве базовой ценной бумаги (актива) (underlying security) рассматривается акция. В дальнейшем будут использоваться именно акции. Также под термином «опционы» всегда понимаются биржевые опционы (listed options), которыми торгуют на национальных опционных биржах, на которых существует вторичный рынок.

Существует два основных вида опционов. Опцион покупателя, опцион на покупку, или опцион «колл» (call option), дает его владельцу право купить базовый актив в определенный день по определенной цене. Опцион продавца, опцион на продажу, или опцион «пут» (put option), дает его владельцу право продать базовый актив в определенный день по определенной цене. Дата, оговоренная в контракте, называется датой истечения контракта (expiration date), или сроком платежа (maturity). Цена актива, зафиксированная в контракте, называется ценой исполнения (execution price), или ценой страйк (striking price).

По типу опционы бывают американскими, европейскими и азиатскими. Эти названия не имеют ничего общего с географическим расположением бирж. Американский опцион (American option) можно исполнить в любой момент до истечения срока его действия. Европейский опцион (European option) может быть исполнен только в момент его истечения. Азиатские опционы используются в основном в промышленности.

Основными количественными факторами, влияющими на стоимость опциона, являются:

1. Степень колебаний (волатильность).
2. Дивиденды.
3. Уровень процентных ставок.
4. Текущая цена акции и цена новый страйк (цена исполнения).
5. Наиболее важный фактор, влияющий на цену опциона - соотношение между ценой, лежащего в основе опциона на акцию и ценой n страйк. Это соотношение определяет статус опциона: опционы «при своих» (at-the-money), «при деньгах» (in-the-money) и «без денег» (out-the-money) - и внутреннюю стоимость опциона.
6. Срок действия опциона (или время, остающееся до даты истечения).

Следует отметить, что оцениваться стоимость опциона будет для рынка, на котором:

• отсутствуют налоги и расходы купить по проведению сделок, т.е. транзакции выполняются бесплатно;
• процентная ставка остается неизменной на протяжении рассматриваемого временного интервала;
• опционы исполняются в определенную дату либо досрочно, если это выгодно, опциона т.е. речь идет о европейском и американском опционах соответственно;
• отсутствуют выплаты дивидендов.
• ценные бумаги предлагаются в любом количестве, их фиктивные покупки-продажи возможны без ограничений;
• инвесторы действуют рационально и не стремятся к чрезмерным доходам.

Учитывая данные о стандартном отклонении курса базисного актива, получают значения его цены для каждого интервала времени (строят дерево распределения цены), также определяют вероятность повышения и понижения курсовой стоимости актива на каждом отрезке временного интервала. Имея значения функции цен актива к моменту истечения опциона, определяют его возможные цены каждом в данное время.

После этого последовательным дисконтированием цен опциона (с учетом вероятности повышения и понижения стоимости актива на каждом интервале времени) получают значение его цены в момент заключения контракта.

Вначале введем обозначения, которые будут использованы в данном пункте для определения цены опциона:

• количество интервалов времени, на которые разбивается срок T действия опциона - n;
• величина подъема или снижения курса акции, выраженные в доле от начального курса - u и d соответственно;
• величина процентной ставки (ставки дохода) - i;
• стоимость (премия) опциона «колл» - C;
• стоимость (премия) опциона «пут» - P;
• начальный курс акции - S;
• цена исполнения, указанная в опционном контракте - X.

Рассмотрим следующую ситуацию: с точки зрения сегодняшнего дня существует всего две возможности для дня завтрашнего, т.е. курс акций либо поднимется, либо упадет. Представим себе, что рынок определяет цену qu за $1 в «верхнем» состоянии рынка и цену qd за 1 долл. в его «нижнем» состоянии. Тогда как на акции, так и на облигации цены должны устанавливаться с помощью следующих цен возможных состояний:

Решение этой системы дает следующие значения:

Вначале рассмотрим европейские опционы. Чтобы понять суть процесса построения биномиального дерева и расчета с помощью него цены на опцион, сначала вычислим данную цену для двух периодов (дат). Результат построения дерева представлен на следующем рисунке:

Рисунок 1. Биномиальное дерево для двух периодов

Теперь с помощью цен возможных состояний можно установить цену на опцион «колл»:

Стоит обратить внимание также на то, что цены возможных состояний можно использовать и для оценивания опционов «пут»:

Заметим, что в данном случае можно было воспользоваться теоремой о паритете «пут» - «колл»:

Очевидно, что схему рассуждений можно обобщить и на большее количество периодов. В таком случае биномиальное дерево окажется достаточно громоздким. Достаточно будет оценить доход на конце каждой ветви дерева с помощью цен возможных состояний, при этом не допустив ошибки в подсчете количества путей, ведущих к каждой конечной ветви. Отсюда следует, что цена европейского опциона в биномиальной модели с n периодами равна:

В формулах, приведенных выше, биномиальный коэффициент есть всевозможное количество путей, ведущих к одной конечной ветви:

Исходя из полученных формул, делается вывод о том, что приведенная стоимость дохода из конечного узла в начальный момент времени равна произведению дохода на цену и на количество путей, а стоимость опциона в начальный момент времени равна сумме стоимостей всех возможных доходов.

Теперь проведем оценку для американских опционов.

Как известно, биномиальная модель может применяться для оценивания не только европейских, но и американских опционов. В таком случае при построении модели необходимо учесть возможность раннего исполнения.

Цена американского опциона на покупку («колл») акции, по которой не выплачиваются дивиденды, равна цене аналогичного европейского опциона. Поскольку американский опцион «колл», выписанный на акцию без выплаты дивидендов, никогда не исполняется досрочно, цены европейских и американских опционов на покупку равны между собой. Поэтому построение модели и биномиальное дерево будут аналогичными.

Однако ценообразование опциона на продажу («пут») может подчиняться и другим правилам. Также следует отметить, что теорема о паритете «пут» - «колл» не выполняется для американских опционов, но, естественно, выполняется для европейских. Поэтому, вычислив цену американского опциона «колл», не удастся вычислить цену опциона «пут» с помощью паритета.

Вначале распространим биномиальную модель оценки опциона на три расчетных периода. С целью упрощения записи введем обозначения узлов дерева согласно рисунку, приведенному ниже:

Рисунок 2. Состояния рынка для трех периодов (дат)

В 3-м периоде держатель американского опциона «пут» может выбрать, держать ли ему опцион дальше или исполнить его. В результате имеем следующие функции стоимости (для двух состояний u и d):

Аналогичная функция имеет место для стоимости опциона в состоянии d в третьем периоде:

В 1-м, начальном периоде (корень дерева) снова справедлива аналогичная функция стоимости:

Обобщим модель на n-е количество периодов. Для этого обозначим u(k)d(m) - состояние рынка в k-м расчетном периоде в узле m при нумерации узлов сверху вниз (m=k=1,n). Тогда цены на опцион на конце каждой ветви дерева вычисляются по следующей формуле:

Исходя из формулы, приведенной выше, можно вычислить цены на опцион в любом промежуточном состоянии рынка, т.е. в любом расчетном периоде. Имеет место формула:

Двигаясь, таким образом, от конечных ветвей до корня дерева и вычисляя цену в каждом состоянии, получим цену опциона в начальный момент времени. Таким образом, получена формула для расчета цены американского опциона с n периодами.

Рассмотрим европейский опцион «колл» с пятью периодами. Известно, что в конце каждого периода цена на акцию увеличивается на 10% или уменьшается на 3%. Также известна безрисковая процентная ставка, равная 6%. Начальная цена акции составляет 50$, цена исполнения опционного контракта также равна 50$. Необходимо вычислить цену опциона в начальный момент времени. 

Рисунок 3. Курс акций

Результат вычислений европейского «колла» представлен на рисунке 4, получили цену опциона, которая равна 10, 436$:

Рисунок 4. Цена европейского опциона "колл"

Рассмотрим второй пример, являющийся более важным и актуальным в практическом смысле. На этот раз имеется американский опцион «пут», начальные данные совпадают с предыдущим примером.

Рисунок 5. Цена американского опциона "пут"

В итоге получили, что цена опциона равна 0,4354$.

В результате, мы видим, как меняется курс в зависимости от введенных данных. В работе рассмотрены биномиальная модель опциона (или премии на опцион). Оценка была проведена для безарбитражного финансового рынка, на протяжении рассматриваемого дискретного временного интервала.

 

Литература:

1. Павлов В.О. Исследование финансовых рисков организации системой искусственного интеллекта / В.О. Павлов, Н.И. Ломакин // Шаг в будущее: искусственный интеллект и цифровая экономика : материалы 1-й междунар. науч.-практ. конф. Вып. 3 / под общ. ред. П.В. Терелянского, С.А. Лукьянова, Е.Н. Смирнова; ФГБОУ ВО «Гос. ун-т управления». - Москва, 2017. C. 321-326.
2. Петрухин А.В. Модель инвариантного описания биржевых торговых стратегий 2018. № 1 (211). С. 101-106.
3. Петрухин А.В. Компьютерная визуализация биржевых данных о динамике фондового рынка / А.В. Петрухин, А.С. Стешенко // Известия Волгоградского государственного технического университета. 2015. № 6 (163). - C. 124-129.
4. Об одном подходе к автоматизации поиска и выбора биржевых стратегий / Петрухин А.В., Шевченко К.А. // Известия Волгоградского государственного технического университета. 2018. № 5 (215). С. 65-68.
5. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики: в 2 т. Т. 2. Теория. М., 1998. 112 с.
6. Cox J., Ross S. and Rubinstein M. Option Pricing: a simplified approach // Journal of Financial Economics. 1979. 7, 229-263.