Матрица простых чисел с периодом 24

Дата публикации: 2020-02-11 22:56:38
Статью разместил(а):
Сидоренко Виктор Алексеевич

Матрица простых чисел с периодом 24

Simple numbers matrix with a period of 24

 

Авторы:

Эрдниев Батыр Пюрвеевич

ФГБОУ ВО «Калмыцкий государственный университет им. Б.Б.Городовикова», г. Элиста, Россия.

e-mail: visidore@yandex.ru

Erdniev Batyr Pyurveevich

Kalmyk State University, Elista, Russia

e-mail: visidore@yandex.ru

Сидоренко Виктор Алексеевич

ФГБОУ ВО «Калмыцкий государственный университет им. Б.Б.Городовикова», г. Элиста, Россия.

e-mail: visidore@yandex.ru

Sidorenko Victor Alekseevich

Kalmyk State University, Elista, Russia

e-mail: visidore@yandex.ru 

Сидоренко Наталья Васильевна

МБОУ «Элистинская многопрофильная гимназия», г. Элиста, Россия.

e-mail: visidore@yandex.ru

Sidorenko Natalia Vasilyevna

Elista Multidisciplinary Gymnasium, Elista, Russia

e-mail: visidore@yandex.ru

 

Аннотация: Статья будет интересна для старшеклассников в учебно-исследовательских целях в математике. Последовательность простых чисел можно представить в виде таблицы из восьми столбцов с периодом 24 между рядами. И тогда обнаруживаются общие свойства чисел в группах-столбцах, как в Таблице химических элементов Д.И. Менделеева. Причём существует устойчивая связь между числами и геометрией.

Abstract: The article will be interesting for high school students for educational purposes in mathematics.  A sequence of primes can be represented as a table of eight columns with a period of 24 between rows.  And then the general properties of numbers are found in column groups, as in the Table of Chemical Elements of D.I. Mendeleev.  Moreover, there is a stable relationship between numbers and geometry.

Ключевые слова: простые числа, периодическая таблица, Эратосфен

Keywords: prime number, primes, periodic table, Eratosthenes.

Тематическая рубрика: Средняя школа.

 

Периодическая таблица простых чисел

Простое число – натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя – единицу и самого себя. То есть, единица сюда не относится – это особое число в математике.

Как получить ряд простых чисел? В данной задаче использовали метод, называемый «Решетом Эратосфена». Эратосфен Киренский – греческий учёный, живший в III веке до нашей эры. Он жил в Ливии и Египте. Это был математик, астроном, географ, филолог и поэт. Греки называли простые числа линейными, а составные – прямоугольными. Суть его метода в следующем. Например, требуется найти ряд простых в первой тысяче натуральных чисел. Начинаем с 2. Вычёркиваем из этого ряда все числа, которые делятся на 2. Следующее число берём 3 и вычёркиваем все, делящиеся на 3. Далее берём следующее из оставшихся – это 5. Повторяем операцию с этим числом и переходим к следующему из оставшихся – это 7. И так далее. Говорят, что Эратосфен это делал, прокалывая числа на бумаге, а не вычёркивая. Поэтому и получалось у него решето – матрица.

Идея профессора Калмыцкого университета Эрдниева Батыра Пюрвеевича заключается в том, чтобы разместить эти числа в таблице из 8 столбцов таким образом, чтобы ряды таблицы отличались на период, равный 24. То есть, разница в одном столбце между числами кратна 24. И тогда оказывается, что числа в одной группе (столбце) обладают некоторыми одинаковыми свойствами. Числа 2 и 3 не входят в эту таблицу – она начинается с 5. И здесь важно было выбрать, с какого числа начинать вторую строку. Если первая строка начинается с 5, то вторая при периоде 24 соответственно начинается с 29.

Но прежде рассмотрим аддитивные свойства простых чисел. Так, например, каждое простое число, которое при делении на 4 даёт остаток 1, может быть представлено (разложено) в виде квадратов двух натуральных чисел, причём единственным образом. Например: 5 = 12 + 22; 13 = 22 + 32, и т.д. Остальные числа могут быть разложены на 3 или 4 квадрата. Если для первых рядов таблицы ещё можно вручную (и с помощью калькулятора) подобрать эти комбинации, то для больших чисел потребуются уже компьютерные расчёты. Для этого была составлена компьютерная программа, которая может получить любой ряд  простых до 4 млрд и помогает исследовать указанные и другие свойства простых чисел. Таким образом, было подтверждено, что каждая группа таблицы Эрдниева Б.П. действительно имеет свои опреде­лённые свойства. Представим эти свойства в виде таблицы:

 

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

m2+n2

m2+n2

m2+n2

m2+n2

m2+3n2

m2+3n2

m2+3n2

m2+3n2

m2+2n2

m2+2n2

m2+2n2

m2+2n2

m2 + n2 + 2k2

Замечание. В нашей Периодической таблице эти разложения представлены в виде чисел m, n, k – без квадратов, но в квадратных скобках. Например, для 5 имеем [1,2], для 7 – [2,1,1,1], и т.д.

Пауль Ферма (сын Пьера Ферма) в 1669 году показал аналогичные свойства для трёх групп простых чисел: 1) вида p(8k+1) => p = m2 + 2n2; 2) вида p(3k+1) => p = m2 + 3n2; 3) вида p(8k+3) => p = m2 + 2n2. Мы здесь расширили эти группы свойств до  p(3k+2), p(4k+1), p(4k+3). Так для 7-го столбца получаем новое разложение: m2 + n2 + 2k2. 

Перебор разложений даёт много комбинаций, особенно для больших чисел (уже после 3 – 4 ряда). То есть, комбинации (m2 + n2 + 2k2) встречаются практически везде, а также  (a2 + b2 + c2 + d2). Но последняя менее интересна, и для простых чисел мы её не рассматриваем. Главное, что те свойства, которые представлены в данной таблице, мы можем подтвердить на практике.

Комбинации этих чисел (разложений) можно связать с геометрическими фигурами. Например, четвёрки чисел можно представить в виде трапеций со сторонами m,n,n,n или m,n,k,k. При этом во втором случае иногда получаются равнобокие трапеции с углами по 60° в нижнем основании и 120° – в верхнем. Для других случаев связь чисел с фигурами не так очевидна. Но они всё же есть, и мы остановимся на них.

Рассмотрим для числа C разложение (m2 + n2), например, в первом столбце. Его в Китае и Вавилоне называли законом прямоугольного треугольника. Если взять

a = 2mn,

b = m2 – n2   (m > n), то получим:

c2 = a2 + b2 – то есть, Пифагорову тройку, или треугольник, в котором вписанная окружность имеет радиус:

r = n(mn).

Например, для числа 5 (с членами разложения 1 и 2) получаем тройку Δ{4;3;5}, r =1. Это известный треугольник Пифагора, радиус вписанной в него окружности равен 1. Именно в таком виде в Периодической таблице и приводятся параметры треугольников.

Другой случай. Для чисел с разложением  c = m2 + 3n2 можно тоже сопо­ста­вить треугольник, и это будет дополнительное свойство для такой группы, так как параметры m и n здесь не участвуют, а вводятся новые параметры j и k, для которых выполняется разложение числа c = j2 + k2 + jk. И оказывается, для этой группы можно подобрать эти параметры. Тогда, приняв

a = 2jk + k2;   b = j2 – k2  (j > k), получим треугольник со сторонами a, b, c и тупым углом в 120°.

Пример для числа 31:  j = 5, k = 1, треугольник Δ{11;24;31}. В Периодической таблице величины j и k обозначаем в виде |j,k+|, т.е. в данном случае это |5,1+|. 

Третий случай. Для чисел с разложением  c = m2 + 2n2 можно построить прямоугольный параллелепипед П {chxaxa} (эту фигуру решили обозначать так), где с – главная диагональ, h – высота, a – сторона квадратного основания.

h = |2n2 – m2|, a = 2mn

При этом для главной диагонали выполняется условие:  c2 = 2a2 + h2

Пример для числа 11: m=3, n=1; П {11;7x6x6}.

 

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

5

[1,2]

7

[2,1,1,1]

11

[3,1,1]

13

[2,3]

[1,2,2,2]

17

[1,4]

[3,2,2]

19

[1,3,3]

[4,1,1,1]

23

[3,3,2,1]

25

29

[2,5]

31

[2,3,3,3]

 

37

[1,6]

[5,2,2,2]

41

[4,5]

[3,4,4]

43

[5,3,3]

[4,3,3,3]

47

[3,3,5,2]

49 

53

[2,7]

 

59

[3,5,5]

61

[5,6]

[7,2,2,2]

 

67

[7,3,3]

[8,1,1,1]

71

[3,3,7,2]

73

[3,8]

[1,6,6]

[5,4,4,4]

 

79

[2,5,5,5]

83

[9,1,1]

 

89

[5,8]

[9,2,2]

 

97

[4,9]

[5,6,6]

[7,4,4,4]

101

[1,10]

103

[10,1,1,1]

107

[3,7,7]

109

[3,10]

[1,6,6,6]

113

[7,8]

[9,4,4]

 

121 

 

Примеры связи чисел с геометрическими фигурами для чисел первой строки.

5

[1,2]
Δ {4;3;5} r 1
L(90°; 53°08'; 36°52') 

7

[2,1,1,1]
|2,1,+|  Δ {7;5;3}
L(120°; 21°47'; 38°13') 

11

[3,1,1]
П {11;7x6x6} 

13

[2,3]
Δ {12;5;13} r 2
L(90°; 67°23'; 22°37')
[1,2,2,2]
|3,1,+| Δ {13;8;7}
L(120°; 27°48'; 32°12') 

17

[1,4]
Δ {8;15;17} r 3
L(90°; 28°04'; 61°56')
[3,2,2]
П {17;1x12x12} 

19

[1,3,3]
П {19;17x6x6}

[4,1,1,1]
|3,2,+| Δ {19;16;5}
L(120°; 13°10'; 46°50') 

23

[3,3,2,1]