Матрица простых чисел с периодом 24

Simple numbers matrix with a period of 24

 

Авторы:

Эрдниев Батыр Пюрвеевич

ФГБОУ ВО «Калмыцкий государственный университет им. Б.Б.Городовикова», г. Элиста, Россия.

e-mail: visidore@yandex.ru

Erdniev Batyr Pyurveevich

Kalmyk State University, Elista, Russia

e-mail: visidore@yandex.ru

Сидоренко Виктор Алексеевич

ФГБОУ ВО «Калмыцкий государственный университет им. Б.Б.Городовикова», г. Элиста, Россия.

e-mail: visidore@yandex.ru

Sidorenko Victor Alekseevich

Kalmyk State University, Elista, Russia

e-mail: visidore@yandex.ru 

Сидоренко Наталья Васильевна

МБОУ «Элистинская многопрофильная гимназия», г. Элиста, Россия.

e-mail: visidore@yandex.ru

Sidorenko Natalia Vasilyevna

Elista Multidisciplinary Gymnasium, Elista, Russia

e-mail: visidore@yandex.ru

 

Аннотация: Статья будет интересна для старшеклассников в учебно-исследовательских целях в математике. Последовательность простых чисел можно представить в виде таблицы из восьми столбцов с периодом 24 между рядами. И тогда обнаруживаются общие свойства чисел в группах-столбцах, как в Таблице химических элементов Д.И. Менделеева. Причём существует устойчивая связь между числами и геометрией.

Abstract: The article will be interesting for high school students for educational purposes in mathematics.  A sequence of primes can be represented as a table of eight columns with a period of 24 between rows.  And then the general properties of numbers are found in column groups, as in the Table of Chemical Elements of D.I. Mendeleev.  Moreover, there is a stable relationship between numbers and geometry.

Ключевые слова: простые числа, периодическая таблица, Эратосфен

Keywords: prime number, primes, periodic table, Eratosthenes.

Тематическая рубрика: Средняя школа.

 

Периодическая таблица простых чисел

Простое число – натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя – единицу и самого себя. То есть, единица сюда не относится – это особое число в математике.

Как получить ряд простых чисел? В данной задаче использовали метод, называемый «Решетом Эратосфена». Эратосфен Киренский – греческий учёный, живший в III веке до нашей эры. Он жил в Ливии и Египте. Это был математик, астроном, географ, филолог и поэт. Греки называли простые числа линейными, а составные – прямоугольными. Суть его метода в следующем. Например, требуется найти ряд простых в первой тысяче натуральных чисел. Начинаем с 2. Вычёркиваем из этого ряда все числа, которые делятся на 2. Следующее число берём 3 и вычёркиваем все, делящиеся на 3. Далее берём следующее из оставшихся – это 5. Повторяем операцию с этим числом и переходим к следующему из оставшихся – это 7. И так далее. Говорят, что Эратосфен это делал, прокалывая числа на бумаге, а не вычёркивая. Поэтому и получалось у него решето – матрица.

Идея профессора Калмыцкого университета Эрдниева Батыра Пюрвеевича заключается в том, чтобы разместить эти числа в таблице из 8 столбцов таким образом, чтобы ряды таблицы отличались на период, равный 24. То есть, разница в одном столбце между числами кратна 24. И тогда оказывается, что числа в одной группе (столбце) обладают некоторыми одинаковыми свойствами. Числа 2 и 3 не входят в эту таблицу – она начинается с 5. И здесь важно было выбрать, с какого числа начинать вторую строку. Если первая строка начинается с 5, то вторая при периоде 24 соответственно начинается с 29.

Но прежде рассмотрим аддитивные свойства простых чисел. Так, например, каждое простое число, которое при делении на 4 даёт остаток 1, может быть представлено (разложено) в виде квадратов двух натуральных чисел, причём единственным образом. Например: 5 = 12 + 22; 13 = 22 + 32, и т.д. Остальные числа могут быть разложены на 3 или 4 квадрата. Если для первых рядов таблицы ещё можно вручную (и с помощью калькулятора) подобрать эти комбинации, то для больших чисел потребуются уже компьютерные расчёты. Для этого была составлена компьютерная программа, которая может получить любой ряд  простых до 4 млрд и помогает исследовать указанные и другие свойства простых чисел. Таким образом, было подтверждено, что каждая группа таблицы Эрдниева Б.П. действительно имеет свои опреде­лённые свойства. Представим эти свойства в виде таблицы:

 

I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
m2+n2			m2+n2	m2+n2			m2+n2
	m2+3n2		m2+3n2		m2+3n2		m2+3n2
		m2+2n2		m2+2n2	m2+2n2		m2+2n2
						m2 + n2 + 2k2

Замечание. В нашей Периодической таблице эти разложения представлены в виде чисел m, n, k – без квадратов, но в квадратных скобках. Например, для 5 имеем [1,2], для 7 – [2,1,1,1], и т.д.

Пауль Ферма (сын Пьера Ферма) в 1669 году показал аналогичные свойства для трёх групп простых чисел: 1) вида p(8k+1) => p = m2 + 2n2; 2) вида p(3k+1) => p = m2 + 3n2; 3) вида p(8k+3) => p = m2 + 2n2. Мы здесь расширили эти группы свойств до  p(3k+2), p(4k+1), p(4k+3). Так для 7-го столбца получаем новое разложение: m2 + n2 + 2k2. 

Перебор разложений даёт много комбинаций, особенно для больших чисел (уже после 3 – 4 ряда). То есть, комбинации (m2 + n2 + 2k2) встречаются практически везде, а также  (a2 + b2 + c2 + d2). Но последняя менее интересна, и для простых чисел мы её не рассматриваем. Главное, что те свойства, которые представлены в данной таблице, мы можем подтвердить на практике.

Комбинации этих чисел (разложений) можно связать с геометрическими фигурами. Например, четвёрки чисел можно представить в виде трапеций со сторонами m,n,n,n или m,n,k,k. При этом во втором случае иногда получаются равнобокие трапеции с углами по 60° в нижнем основании и 120° – в верхнем. Для других случаев связь чисел с фигурами не так очевидна. Но они всё же есть, и мы остановимся на них.

Рассмотрим для числа C разложение (m2 + n2), например, в первом столбце. Его в Китае и Вавилоне называли законом прямоугольного треугольника. Если взять

a = 2mn,

b = m2 – n2   (m > n), то получим:

c2 = a2 + b2 – то есть, Пифагорову тройку, или треугольник, в котором вписанная окружность имеет радиус:

r = n(m–n).

Например, для числа 5 (с членами разложения 1 и 2) получаем тройку Δ{4;3;5}, r =1. Это известный треугольник Пифагора, радиус вписанной в него окружности равен 1. Именно в таком виде в Периодической таблице и приводятся параметры треугольников.

Другой случай. Для чисел с разложением  c = m2 + 3n2 можно тоже сопо­ста­вить треугольник, и это будет дополнительное свойство для такой группы, так как параметры m и n здесь не участвуют, а вводятся новые параметры j и k, для которых выполняется разложение числа c = j2 + k2 + jk. И оказывается, для этой группы можно подобрать эти параметры. Тогда, приняв

a = 2jk + k2;   b = j2 – k2  (j > k), получим треугольник со сторонами a, b, c и тупым углом в 120°.

Пример для числа 31:  j = 5, k = 1, треугольник Δ{11;24;31}. В Периодической таблице величины j и k обозначаем в виде |j,k+|, т.е. в данном случае это |5,1+|. 

Третий случай. Для чисел с разложением  c = m2 + 2n2 можно построить прямоугольный параллелепипед П {c; h x a x a} (эту фигуру решили обозначать так), где с – главная диагональ, h – высота, a – сторона квадратного основания.

h = |2n2 – m2|, a = 2mn. 

При этом для главной диагонали выполняется условие:  c2 = 2a2 + h2

Пример для числа 11: m=3, n=1; П {11;7x6x6}.

 

I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
5 [1,2]	7 [2,1,1,1]	11 [3,1,1]	13 [2,3] [1,2,2,2]	17 [1,4] [3,2,2]	19 [1,3,3] [4,1,1,1]	23 [3,3,2,1]	25
29 [2,5]	31 [2,3,3,3]		37 [1,6] [5,2,2,2]	41 [4,5] [3,4,4]	43 [5,3,3] [4,3,3,3]	47 [3,3,5,2]	49
53 [2,7]		59 [3,5,5]	61 [5,6] [7,2,2,2]		67 [7,3,3] [8,1,1,1]	71 [3,3,7,2]	73 [3,8] [1,6,6] [5,4,4,4]
	79 [2,5,5,5]	83 [9,1,1]		89 [5,8] [9,2,2]			97 [4,9] [5,6,6] [7,4,4,4]
101 [1,10]	103 [10,1,1,1]	107 [3,7,7]	109 [3,10] [1,6,6,6]	113 [7,8] [9,4,4]			121

 

Примеры связи чисел с геометрическими фигурами для чисел первой строки.

5	[1,2] Δ {4;3;5} r 1 L(90°; 53°08'; 36°52')
7	[2,1,1,1] |2,1,+|  Δ {7;5;3} L(120°; 21°47'; 38°13')
11	[3,1,1] П {11;7x6x6}
13	[2,3] Δ {12;5;13} r 2 L(90°; 67°23'; 22°37') [1,2,2,2] |3,1,+| Δ {13;8;7} L(120°; 27°48'; 32°12')
17	[1,4] Δ {8;15;17} r 3 L(90°; 28°04'; 61°56') [3,2,2] П {17;1x12x12}
19	[1,3,3] П {19;17x6x6} [4,1,1,1] |3,2,+| Δ {19;16;5} L(120°; 13°10'; 46°50')
23	[3,3,2,1]