О вероятностной линии в школьном курсе математики

About the probability line in the school mathematics course

Автор: Лосева Екатерина Анатольевна

ГБОУ "Школа № 275", Санкт-Петербург, Россия

e-mail: Loseva-licei@yandex.ru 

Loseva Ekaterina Anatolevna

School № 275, St.-Petersburg, Russia

e-mail: Loseva-licei@yandex.ru 

Аннотация: Статья посвящена организации работы по формированию первоначальных стохастических представлений школьников. Особую роль в этом вопросе предлагается отвести вероятностным играм, статистическим экспериментам и стохастическим рассуждениям.

Abstract: The article is devoted to the organization of work on the formation of initial stochastic representations of schoolchildren. A special role in this issue is proposed to be given to probabilistic games, statistical experiments and stochastic reasoning. 

Ключевые слова: вероятностное мышление школьников, методика преподавания теории вероятностей в школе, стохастические рассуждения.

Keywords: probabilistic thinking of schoolchildren, methods of teaching probability theory at school, stochastic reasoning. 

Тематическая рубрика: Педагогика и образование.

О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. В настоящее время никто не подвергает сомнению необходимость включения стохастической линии в школьный курс математики. Главы, посвященные этой тематике, есть во всех учебниках из Федерального перечня. Со следующего учебного года в этом направлении случится настоящий прорыв: изучение теории вероятностей и математической статистики выделено в отдельный предмет. Семиклассники начнут изучать теорию вероятностей отдельным курсом, выпущен новый учебник. Есть надежда, что этот шаг позволит преодолеть основные трудности - методическую неподготовленность учителей и отсутствие единого подхода в школьных учебниках. Ну а как же с преподаванием стохастической линии в 5 и 6 классах, в начальной школе?

Психологи утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10-13 лет (это 5-7 классы). Экспериментальная работа в 5 и 6 классах по пропедевтике вероятностных представлений, проведению экспериментов со случайными исходами и обсуждению на качественном уровне их результатов показало, что этот незакрепленный формальными «обязательными результатами» период дает хорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений детей.

Согласно данным ученых-физиологов и психологов в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроке математики в основной школе, проводимом на традиционном материале, у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми объектами и окружающем миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее называют еще стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.

Знакомство школьников со своеобразной областью математики способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. В этой области математики между белым и черным существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначными «да» и «нет» существует еще и «быть может» (причем это «быть может» поддается строгой количественной оценке). Учащиеся видят непосредственную связь математики с окружающей действительностью и реальной жизнью.

Журнал «Математика в школе» опубликовал ряд статей, в которых рассматриваются различные вопросы по данной теме. Так, Бунимович Е.А. дает методические рекомендации по рассмотрению ключевых вопросов теории вероятностей. Он рекомендует на первом этапе обучения не относить достоверные и невозможные события к случайным. Понятие случайного события соответственно уточняется на более поздних этапах обучения. Чтобы доказать, что данное событие – случайное, предлагается привести пример такого исхода, когда событие происходит и пример такого исхода, когда событие не происходит. 

Необходимо развить у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий. Качественная оценка вероятности события приводит к тому, что при обсуждении в классе на один и тот же вопрос может быть дано несколько разных ответов, которые могут считаться верными, что непривычно на уроке математики и для ученика и для учителя. Например, при обсуждении вероятности наступления события «вам подарят на день рождения собаку» ученики в зависимости от личных обстоятельств могут дать ответы: 

«это маловероятное событие»

«это очень возможное событие»

«это достоверное событие».

При решении таких задач главное - приводимая аргументация, понимание школьником смысла используемых понятий. Если аргументация вполне логична и разумна, ответ следует считать верным. Именно 5-6 классы являются подготовительным этапом, перед изучением стохастики здесь идет процесс «интуитивных накоплений». Как же следует организовать этот процесс? Прежде всего, путем эксперимента, проводимого самими учащимися. Одна из важнейших целей обучения школьников элементам стохастики состоит в целенаправленном развитии идеи о том, что в природе наличествуют стохастические закономерности. Важно помочь учащимся правильно осознать реальную действительность, открыть для себя вероятностную природу окружающего мира, показать, что в мире случайностей можно не только хорошо ориентироваться, но и активно действовать. 

С помощью каких же средств можно организовать формирование первоначальных стохастических представлений школьников? К таковым можно отнести стохастические игры, эксперименты со случайными исходами, статистические исследования, мысленные статистические эксперименты и моделирование. 

Для проведения экспериментов пока возможно использование подручных средств: пуговиц, кубиков, кнопок, самодельных вертушек и т.п. Со временем необходимо наладить выпуск и поставку в школы наборов математического демонстрационного учебного оборудования. Компьютерные модели испытаний не смогут заменить школьникам настоящий эксперимент. Проводя эксперименты, учащиеся могут заметить, что те или иные события происходят чаще или реже относительно других. Таким образом, можно перейти к понятию частоты, а затем к статистическому определению вероятности.

При классическом подходе определение понятия вероятности для некоторых событий сводится к понятию равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном представлении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть и речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра. Из этого вытекает ограничение применения классической вероятности. Классическое определение вероятности работает лишь тогда, когда имеется конечное число равновозможных исходов. На практике мы часто встречаемся с ситуациями, где нет симметрии, предопределяющей равновозможность исходов. В таких случаях приходится определять вероятность частотным путем.

По обучению комбинаторике тоже нет единого мнения. Спорным остается вопрос о введении основных комбинаторных понятий: сочетаний, перестановок и размещений. Все ли вводить, нужно ли вводить их определения или достаточно описания?

На данный момент можно говорить о наличии некоторого опыта по рассматриваемой теме. Бунимович Е.А. на базе московской, калужской и ярославской гимназий исследовал вероятностные представления школьников старших профильных классов, которые еще не изучали вероятностный раздел. Результаты исследования показали, что даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивает развития вероятностного мышления. Также эксперимент показал, что школьникам начальных классов не хватает кругозора и математического аппарата для объяснения представлений о вероятности. В то же время основы описательной статистики, таблицы и диаграммы, основы комбинаторики необходимо вводить в курс начальной школы. Начинать изложение основ теории вероятностей в старших классах- малоэффективно.

Другой эксперимент проводили Ткачева М.В., Василькова Е.Н. и Чуваева Т.В. Было установлено, что в 5 классе у детей достаточно высокий уровень комбинаторного мышления, а затем, если в течение 6-7 классов его не развивать, то навыки решения комбинаторных задач существенно снижаются. Большинство учащихся 5-6 классов готовы к восприятию понятия вероятности в классическом и геометрическом истолковании. Желательно обучать учащихся 5-6 классов самостоятельному целенаправленному сбору информации о явлениях окружающей жизни, анализу данных в небольших выборках.

Одно из главных отличий школьного изучения стохастики от изучения в ВУЗе состоит в тесной связи отвлеченных понятий и структур с окружающим миром. Поэтому математическая деятельность школьников не должна ограничиваться изучением только готовых вероятностных моделей. Напротив, процессы построения и истолкования моделей рассматриваются как ведущие формы учебной деятельности. Учитель призван правильно направлять такую деятельность, а для этого он должен сам владеть методами формализации и интерпретации. Выполнение учащимися заданий связанных с принятием решений в реальных ситуациях играет очень важную роль и требует умелого управления со стороны учителя.

Владение искусством стохастических рассуждений - непременное условие успешной деятельности учителя математики. Нужен взгляд на стохастику не только как на систему понятий, фактов и утверждений, а как на специфическую методологию, охватывающую вероятностные и статистические умозаключения в их взаимосвязи. Анализ тех ситуаций, где для решаемой проблемы не оказывается однозначного или определенного ответа, не должен вызывать растерянности учителя.

Таким образом, при обучении стохастике создается благоприятная почва для эвристической деятельности учащихся. У педагогов появляется возможность использования новых, непривычных для уроков математики подходов к обучению.

Литература:

1. Бунимович Е.А. Вероятность и статистика 5-9 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений / Е.А. Бунимович, В.А. Булычев. М.: Дрофа, 2002.

2. Студенецкая В.Н. Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы / В.Н. Студенецкая, О.М. Фадеева // Математика в школе. 2004. № 6.